シャフトとカラーの圧入の式

調べもの、メモとか

シャフトとカラーの圧入を考えるとき、シャフトもカラーも筒として考えます。
シャフトを内筒、カラーを外筒として考えますと、必要なパラメータは、 面にかかる応力、接触面積、摩擦係数から求められます。

\begin{aligned} F = p_m A \mu \end{aligned}

摩擦係数が鬼門ではありますが、理論値としては面圧さえ出ていれば求められます。 面圧は、内外径、ヤング率、ポアソン比、締め代から求められます。

\begin{aligned} 面圧&：p_m \\ 内筒内半径&：r_1 \\ 組み合わせ半径&：r_2 \\ 外筒外半径&：r_3 \\ ヤング率(内・外)&：E_1, E_2 \\ ポアソン比(内・外)&：v_1, v_2 \\ 締め代(直径差)&：\delta \end{aligned}



材料力学の本によると

材力の本（詳解材料力学演習 下）によると

\begin{aligned} p_m = \frac{\delta}{2 r_2} \left( \frac{1} { \frac{ r_2^2 + r_1^2 }{ r_2^2 - r_1^2 } \frac{1}{E_1} +\frac{ r_3^2 + r_2^2 }{ r_3^2 - r_2^2 } \frac{1}{E_2} -\frac{v_1}{E_1} +\frac{v_2}{E_2} } \right) \end{aligned}

となっています。

NSKのテクニカルレポートでは

NSKのはめあいのテクニカルレポート によると、圧入力の式は

\begin{aligned} p_m = \frac{ \Delta d }{d} \frac{1} { \left( \frac{m_s -1}{m_s E_s} -\frac{m_i -1}{m_i E_i} \right) +2 \left( \frac{k_0^2}{E_s (1-k_0^2)} +\frac{1}{E_i (1-k^2)} \right) } \end{aligned}

となっています。 これが分かりにくかったのでいくつか数値を書き直します。

\begin{aligned} d_0 &= 2 r_1 \\ d &= 2 r_2 \\ D &= 2 r_3 \\ k_0 &= \frac{d_0}{d} = \frac{r_1}{r_2} \\ k &= \frac{d}{D_i} = \frac{r_2}{r_3} \\ m_s &= \frac{1}{v_1} \\ m_i &= \frac{1}{v_2} \\ E_s &= E_1 \\ E_i &= E_2 \\ \Delta d &= \delta \end{aligned}

これをもとに書き直すと

\begin{aligned} p_m = \frac{\delta}{2 r_2} \left( \frac{1} { \left( \frac{ \frac{1}{v_1} -1 }{ \frac{1}{v_1} E_1 } \right) - \left( \frac{ \frac{1}{v_2} -1 }{ \frac{1}{v_2} E_2 } \right) +2 \left( \frac{ \left( \frac{r_1}{r_2} \right) ^2 }{ E_1 \left( 1- \left( \frac{r_1}{r_2}\right)^2 \right) } +\frac{ 1 }{ E_2 \left( 1- \left( \frac{r_2}{r_3}\right)^2 \right) } \right) } \right) \end{aligned}

\begin{aligned} = \frac{\delta}{2 r_2} \left( \frac{1} { \left( \frac{1-v_1}{E_1} \right) - \left( \frac{1-v_2}{E_2} \right) +2 \left( \frac{ r_1^2 }{ E_1 \left( r_2^2 - r_1^2 \right) } +\frac{ r_3^2 }{ E_2 \left( r_3^2 - r_2^2 \right) } \right) } \right) \end{aligned}

\begin{aligned} = \frac{\delta}{2 r_2} \left( \frac{1} { \left( \frac{1}{E_1} -\frac{v_1}{E_1} \right) \left( -\frac{1}{E_2} +\frac{v_2}{E_2} \right) +2 \left( \frac{ r_1^2 }{ E_1 \left( r_2^2 - r_1^2 \right) } +\frac{ r_3^2 }{ E_2 \left( r_3^2 - r_2^2 \right) } \right) } \right) \end{aligned}

\begin{aligned} = \frac{\delta}{2 r_2} \left( \frac{1} { -\frac{v_1}{E_1} +\frac{v_2}{E_2} +\left( \frac{ r_2^2 + r_1^2 }{ E_1 \left( r_2^2 - r_1^2 \right) } +\frac{ r_3^2 + r_2^2 }{ E_2 \left( r_3^2 - r_2^2 \right) } \right) } \right) \end{aligned}

となり、同じ式になります。
ただそれだけ

備考

\begin{aligned} p_m = \frac{\delta}{2 r_2} \left( \frac{1} { \frac{ r_2^2 + r_1^2 }{ r_2^2 - r_1^2 } \frac{1}{E_1} +\frac{ r_3^2 + r_2^2 }{ r_3^2 - r_2^2 } \frac{1}{E_2} -\frac{v_1}{E_1} +\frac{v_2}{E_2} } \right) \end{aligned}

ですが、直径の場合でも、

\begin{aligned} p_m = \frac{\delta}{d_2} \left( \frac{1} { \frac{ d_2^2 + d_1^2 }{ d_2^2 - d_1^2 } \frac{1}{E_1} +\frac{ d_3^2 + d_2^2 }{ d_3^2 - d_2^2 } \frac{1}{E_2} -\frac{v_1}{E_1} +\frac{v_2}{E_2} } \right) \end{aligned}

となり、頭の分母以外は半径と直径を入れ替えても同じになります。