エピトロコイド平行曲線の導出

サイクロ減速機

エピトロコイド曲線の導出

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条件から得られる方程式は、
{ \displaystyle \frac{\theta_c}{2 \pi} \times 2 \pi r_c = \frac{\theta_m}{2 \pi} \times 2 \pi r_m } 　→　　 { \displaystyle \theta_c r_c = \theta_m r_m }

{ \displaystyle \theta_x = \theta_m + \pi + \theta_c } 　　→　　 { \displaystyle \theta_x = (\frac{r_c+r_m}{r_m}) \theta_c + \pi }

{ \displaystyle x_m = (r_c+r_m) cos\theta_c }　　,　　 { \displaystyle y_m = (r_c+r_m) sin\theta_c }

{ \displaystyle x = r_d cos\theta_x + x_m }　　,　　 { \displaystyle y = r_d sin\theta_x + y_m }


上記の式より、
{ \displaystyle x = (r_c+r_m) cos\theta_c + r_d cos(\frac{r_c+r_m}{r_m} \theta_c + \pi) }

　　→　　 { \displaystyle x = (r_c+r_m) cos\theta_c - r_d cos(\frac{r_c+r_m}{r_m} \theta_c) }

{ \displaystyle y = (r_c+r_m) sin\theta_c + r_d sin(\frac{r_c+r_m}{r_m} \theta_c + \pi) }

　　→　　 { \displaystyle y = (r_c+r_m) sin\theta_c - r_d sin(\frac{r_c+r_m}{r_m} \theta_c) }

エピトロコイド曲線の平行曲線を求める

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平行曲線とは、曲線のとある点に垂線を引き、その点の垂線の距離が一定値になるような点を繋いでいった曲線です。

元の曲線上の点を A(x_a, y_a)
その点を平行移動したものを P(x_p, y_p)
とする。

\vec{AP}は元曲線の接線に垂直な垂線であるため、接線方向ベクトルから求められる。
接線方向ベクトルは、

{ \displaystyle \vec{V}= \begin{pmatrix} dx_{(\theta_c)} \\ dy_{(\theta_c)} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{ dx_{(\theta_c)} } { d\theta_c } \\ \frac{ dy_{(\theta_c)} } { d\theta_c } \\ \end{pmatrix} }

で表せる。
垂線ベクトルを \vec{AP_a}とすると、これは \vec{V}に直角なので、

{ \displaystyle \vec{AP_a} = \begin{pmatrix} -\frac{ dy_{(\theta_c)} } { d\theta_c } \\ \frac{ dx_{(\theta_c)} } { d\theta_c } \\ \end{pmatrix} or \begin{pmatrix} \frac{ dy_{(\theta_c)} } { d\theta_c } \\ -\frac{ dx_{(\theta_c)} } { d\theta_c } \\ \end{pmatrix} }

\vec{AP_a}を正規化したものを\vec{AP}、 平行移動量をd とすると、

{ \displaystyle \begin{pmatrix} x_p \\ y_p \\ \end{pmatrix} = \vec{OA} + d \cdot \vec{AP} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ \end{pmatrix} + d \cdot \vec{AP} }
となる。

エピトロコイド曲線の微分

エピトロコイド曲線の式は次である。
{ \displaystyle x = (r_c+r_m) cos\theta_c - r_d cos(\frac{r_c+r_m}{r_m} \theta_c) }
{ \displaystyle y = (r_c+r_m) sin\theta_c - r_d sin(\frac{r_c+r_m}{r_m} \theta_c) }

これを{\theta_c}微分する。

{ \displaystyle \frac{dx}{d\theta_c} = -(r_c+r_m) sin\theta_c + r_d (\frac{r_c+r_m}{r_m}) sin(\frac{r_c+r_m}{r_m} \theta_c) }

{ \displaystyle \frac{dy}{d\theta_c} = (r_c+r_m) cos\theta_c - r_d (\frac{r_c+r_m}{r_m}) cos(\frac{r_c+r_m}{r_m} \theta_c) }

これで \vec{AP_a}が求まった \vec{AP}は正規化するだけなので、

{ \displaystyle \vec{AP} = \frac{ 1 }{ \sqrt{ \dot{x}^{2} + (-\dot{y})^{2} } } \begin{pmatrix} -\dot{y} \\ \dot{x} \\ \end{pmatrix} }

まとめ

{ \displaystyle \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (r_c+r_m) cos\theta_c - r_d cos(\frac{r_c+r_m}{r_m} \theta_c) \\ (r_c+r_m) sin\theta_c - r_d sin(\frac{r_c+r_m}{r_m} \theta_c) \\ \end{pmatrix} }

{ \displaystyle \begin{pmatrix} \dot{x_a}\\ \dot{y_a}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (r_c+r_m) (-sin\theta_c + (\frac{r_d}{r_m}) sin(\frac{r_c+r_m}{r_m} \theta_c)) \\ (r_c+r_m) (cos\theta_c - (\frac{r_d}{r_m}) cos(\frac{r_c+r_m}{r_m} \theta_c) ) \\ \end{pmatrix} }

{ \displaystyle \begin{pmatrix} x_p \\ y_p \\ \end{pmatrix} = \vec{OA} + d \cdot \vec{AP} = \begin{pmatrix} x_a \\ y_a \\ \end{pmatrix} + \frac{d}{ \sqrt{ \dot{x_a}^{2} + \dot{y_a}^{2} } } \begin{pmatrix} -\dot{y_a}\\ \dot{x_a}\\ \end{pmatrix} }